Für mich gibts immer noch nur eine, vielleicht 1,5 Möglichkeiten:
1. Ab zum Anwalt. Alles ehrlich erklären und fragen, wer jetzt Eigentümer ist. Falls dabei rauskommt, dass die TE es nicht ist, sollte sie mMn den Hund bei der nächsten Nachfrage zurückgeben. Die eigene Einschätzung, wo der Hund besser lebt, ist mMn irrelevant, was das Vorgehen angeht. Wenn die TE nicht Eigentümerin ist, dann kann und sollte sie den Hund nicht einbehalten.
Eventuell 2. Sich nochmal mit der Frau zusammensetzen. Im besten Fall mit außenstehendem Mediator. Denn die Frau und ihre Situation geht mit bei den Beiträgen der TE ein bisschen zu sehr unter. Und egal scheint ihr der Hund ja auch nicht zu sein, sonst hätte sie nicht geweint bei Übergabe/ihre Umstände versucht zu ändern/den Hund zurückgefordert. Ist vielleicht ein bisschen naiv. Aber offene Kommunikation kann ja doch so manches Problem lösen.
So oder so sollte es schnell zu einer Regelung (im besten Fall Einigung) kommen. Dem Hund ist sicher nicht geholfen, wenn er noch länger bei der TE ist und dann irgendwann zurück muss.
Ich bin gespannt, ob die TE uns nochmal updatet, wie es weitergeht.