Huhu 
Also erstmal ist es völlig normal, dass Kira auf der PS und auch anfangs bei euch ein völlig anderes Verhalten gezeigt hat. Ich schätze mal, dass sie direkt aus Bulgarien auf die PS gekommen ist und da sind 2,5 Wochen nichts. Man sagt, dass Auslandshunde nach etwas 3 Wochen erstmal anfangen zu realisieren, was überhaupt passiert ist und wo sie überhaupt sind. Diese Zeit hatte Kira auf der PS nicht und dann kam direkt der nächste Ortswechsel zu euch. Da war ihr Stresspegel dementsprechend hoch, was biologisch gesehen einige Zeit braucht um sich abzubauen.
Zudem sind Hunde Anpassungskünstler, d.h. wenn sie in einer neuen Situation sind, dann versuchen sie sich erstmal so unauffällig wie möglich zu verhalten, weil sie die neue Situation ja noch gar nicht einschätzen können (zB ob vom Menschen vllt. Gefahr ausgeht). Anpassung = Unauffällig = "mir kann nichts passieren"
Wenn der Hund dann aber erstmal merkt, dass ihr im nichts böses wollt, traut er sich langsam und sicher seine "Päckchen" auszupacken und wird selbstbewusst genug, er selbst zu sein. Das kann von 3 Monate bis hin zu einem Jahr (in Ausnahmefällen sogar länger) dauern.
So viel erstmal dazu. 
das ist also nichts ungewöhnliches!
Zum Kläffen:
Das könnte unterschiedliche Gründe haben und entweder aus Unsicherheit oder aus Territorialverhalten (oder einer Mischung aus beidem) geschehen. Das müsste eigentlich ein*e Trainer*in gut beurteilen können.
Vielleicht lasst ihr euch hier im Forum mal eine*n gute*n Trainer*in empfehlen? Leider gibt es viele Trainer*innen, die ein Standart-Programm haben und wenn das nicht funktioniert, wissen sie auch nicht mehr weiter. Hier im Forum gibt es sehr viele erfahrene User, die immer einen Tipp übrig haben. vielleicht sagst du einfach mal, woher ihr ungefähr kommt.
Ansonsten - darf sie alleine in den Garten? Das kann so ein Zaungekläffe nämlich auch begünstigen. Hunde, die oft alleine im Garten sind suchen sich eine eigene Beschäftigung, was dann oft das Anbellen vorbeigehender Menschen/Tiere ist.
Ich würde auf eine Hausleine plädieren und wenn sie kläffend zum Zaun läuft, würde ich sagen "Alles gut, das ist nur ein Mensch, der vorbeigeht, der tut uns nichts." und sie dann ruhig zum Platz zurückbringen.
Apropos Platz:
Wie sieht denn ihr Rückzugsort aktuell aus? Ist der in einer ruhigen Ecke? Hat sie ihren Platz angenommen und wurde der positiv verknüpft? Herrscht absolutes In-Ruhe-Lassen-Gebot, wenn Kira auf ihrem Platz ist? Wenn Luna ihren Platz aufsucht, dass wird sie da absolut in Ruhe gelassen. Kein Streicheln, kein Anfassen, kein Drüberbeugen, höchstens Leckerchen. Aber sie soll wissen, dass sie da ihre absolute Ruhe hat. Das wäre auch eine wichtige Regel für die Kids.
Ansonsten schlagen viele User hier oft vor einen Bereich des Wohnzimmers mit einem Trenngitter abzutrennen, sodass der Hund zwar noch alles sehen kann, aber nicht mittendrin ist. Den Bereich dann mit ihrem Körbchen, Wasser und etwas zum Kauen als Beschäftigung ausstatten (wobei mir fällt gerade ein, dass eure Hündin ziemlich groß ist. Da weiß ich nicht, ob sich sowas realisieren lässt).
Zum Thema mit den Kids:
Ich würde die Kinder nicht unbeaufsichtigt mit dem Hund spielen lassen. Schon gar nicht, wenn Rennspiele involviert sind. Du schreibst ja schon selbst, dass Kira da ziemlich ungestüm wird. Im Worst Case, wenn Kira starken Jagdtrieb hat, könnte es aber auch mal passieren, dass ein Rennspiel in Jagdverhalten umkippt. Vor allem, wenn es mal nicht die eigenen Kids sind, sondern fremde. Also spielen niemals unbeaufsichtigt und eigentlich am besten auch keine wilden Spiele. Was man gut zusammen machen kann, ist Leckerchen für den Hund verstecken und sich gemeinsam freuen, wenn Kira die findet (lastet Kira gleichzeitig auch aus), gemeinsam spazieren gehen, sich gemeinsam über Hundekörpersprache informieren und lernen o.Ä.
Ich würde die Kinderzimmer einfach zur Tabuzone für Kira erklären. Auch wenn sie an der Tür kratzt - da muss sie halt mal durch, aber wenn man das konsequent durchzieht, verstehen Hunde das eigentlich recht schnell. Luna hat anfangs immer gebettelt, wenn ich gegessen hab. Hat richtig angefangen zu fiepen, sodass mir der Appetit vergangen ist. Das war verdammt schwer, da konsequent zu bleiben. Aber nach 2 Wochen hat sie verstanden, dass es nichts vom Tisch gibt und legt sich jetzt einfach entspannt hin, wenn ich esse. Auch hier wäre eine Hausleine wieder praktisch. Wenn sie an den Türen kratzt - Hausleine nehmen und Kira kommentarlos zu ihrem Platz bringen. Anfangs ist es vielleicht nervig, wie oft man das wiederholen muss, aber glaub mir, die verstehen das irgendwann und dann bist du froh, dass du konsequent warst. 
Zum Thema Ausflüge:
Ich bin selbst erst seit Mai Hundebesitzerin und ich weiß, wie schön man sich vorher alles ausmalt. Gemeinsame Ausflüge, der Hund ist überall dabei, spielt grenzenlos mit den Kindern etc. Aber du darfst nicht vergessen, dass ihr da einen Auslandstierschutzhund sitzen habt. Kennt ihr was zu ihrer Vergangenheit?
Jedenfalls ist es sehr wahrscheinlich, dass sie das Zusammenleben mit dem Menschen noch gar nicht kennt. Das Kennenzulernen ist für den Anfang erstmal mehr als genug für sie. Gerade in einer 4 köpfigen Familie mit Kindern.
Luna kommt aus Rumänien und ist wie gesagt seit Mai hier und wir führen echt ein relativ entspanntes Leben, aber Cafebesuche oder Parkausflüge habe ich bisher noch nie mit ihr unternommen. Man muss da langsam rangehen. Mal auf einen Supermarktparkplatz gehen, sich mit Leckerchen ausstatten, einfach hinsetzen und beobachten und dem Hund alles schön füttern. Die muss sich an so ein Leben ja erstmal gewöhnen. Zoo - mit so vielen Menschen, Gerüchen von Wildtieren etc. - da kann sie nicht entspannt sein. Das wäre viel zu viel verlangt. Ich glaube ihr müsst da eure Erwartungen und das Programm ein wenig runterschrauben. Alles langsam aufbauen. Mit Tricks kann man später anfangen, das ist nichts wichtiges. Wichtig ist Alltagssituationen kennenlernen (langsam und nicht zu lange auf einmal mit viel Schlaf danach um alles verarbeiten zu können) und vor allem Ruhe zu lernen.
Ein Auslandshund kann schon etwas Arbeit sein, was aber nicht heißt dass der kein toller Familienhund werden kann. Man muss seine Ansprüche vielleicht etwas runterschrauben und Lust und Zeit haben, mit dem Hund zu arbeiten und ihn langsam an alles heranzuführen. Nicht zu viel erwarten!
Zum Thema Jagdverhalten und Hund&Kinder können dir hier einige User aber bestimmt noch viel mehr erzählen!
Ich wünsche euch alles Gute
aber gut, vielleicht ist es dann einfach eine etwas stressigere Zeit, lässt sich ja leider nicht immer vermeiden. Dann müssen wir mal etwas rumprobieren, wie es am besten klappt. Danke!
). Ich glaube ich muss da für mich noch eine gesunde Mischung finden und darf mir vielleicht auch nicht zu viele Gedanken machen. Andere würden vielleicht einfach sagen "Du kommst jetzt halt einfach mit" und Punkt. und dann ist das auch okay. Da sollte ich mir mal eine Scheibe von abschneiden.