Ich denke, Du hast das schon richtig erkannt: sie ist unterfordert. Sie will raus und sich draußen lösen. Das kennt sie ja. Sie will nicht in die Wohnung machen und läuft deshalb suchend rum. Das stresst sie natürlich und deshalb hechelt sie auch so viel.
Ich würde ihr ein Geschirr ranmachen, Leine ran und dann raus. Ihr müsst ja keine kilometerlangen Spaziergänge machen, aber die Welt draußen gemeinsam zu erkunden, schafft Bindung zueinander. Einfach an eine ruhige Ecke stellen und sie ihr Ding machen lassen. Schnüffeln, Schmetterlinge gucken usw. Und es macht auch müde, die ganzen neuen Eindrücke danach zu verarbeiten. Also am Anfang nicht übertreiben, damit sie dann nicht gleich "drüber" ist, aber nicht nur in der Wohnung hocken.
Und: lass das Geschirr für den Anfang dauerhaft dran, das erspart euch den ständigen An- und Ausziehstress, so lange sie sich noch nicht gern von Dir anfassen lassen will.