Was Du auf jeden Fall machen solltest, ist sie nicht höher als 2m werden zu lassen, sonst fehlt Dir die Sonne - außerdem kann das gegen das Baurecht? verstoßen, wenn sie zu dicht an der Grenze ist.
Thuja ist kein Grund, wegen des Hundes Angst zu haben, denke ich. Ich hab Thuja auf dem Grundstück, Efeu auch (den krieg ich nicht vertrieben, kommt immer wieder vom Nachbarn rüber) und meine Hunde leben noch.
Entfernen: sprich mal mit der Gemeinde, vielleicht können die Dir was dazu sagen - es kann eine Pflicht zur optischen Abgrenzung bestehen. Und grundsätzlich darfst Du sie nur außerhalb der Brut- und Setzzeit entfernen.