Zum Wandern sind eigentlich alle Regionen Schwedens geeignet -- je nörd- und östlicher, desto einsamer. Es kommt auch darauf an, wie lange denn die Tages- und Gesamttouren werden sollen, und wieviel Wildnis man sich geben möchte.
In den Naturparks muss ein Hund angeleint sein, allerdings im "normalen" Wald in den Sommermonaten auch.
Ganz in den Süden würde ich nicht fahren, da wäre es mir zu wenig "schwedisch".
Zur Route: In Schweden selbst ist Bahn- und (Fern)Busfahren recht billig -- wenn man eine Station findet. Eigenes oder Mietauto sind da einfacher.
Die beste Anreise bis dahin hängt davon ab, wo man losfährt, wo man hinwill, und wieviel Komfort bzw. Niedrigpreise man haben möchte.
Im Vorfeld: Lies Dir die Einreisebedingungen durch, vor allem Chip, Tollwutimpfung und mindestens 120 Tage später(!) der Titertest.