Weißt du, wie der Hund bei deiner Freundin aufgewachsen ist? Erkundige dich mal. Es macht einen ziemlichen Unterschied, ob z.B. schlechte Erfahrungen eine Rolle spielt, eine verpasste Sozilisierungsphase plus ein unausgelastetes "Handtaschenhunddasein" oder gar beides.
Wenn du dir ein entspanntes Familienleben wünscht, wird es nicht ohne professionelle Hilfe gehen. Vielleicht lohnt sich aber mal ein Telefonat mit dem örtlichen Tierschutz um Tipps für gute, aber etwas preisgünstiger Hilfe zu bekommen. Vielleicht gibt es ja auch eine Hundeschule/einen Verein in der Nähe der Kleinhundgruppen hat, in die man sie nach ein paar Einzelstunden ev.zu Anfang mit Maulkorb integrieren kann. Es könnte sich lohnen dann auch die Tochter (Alter?) mitzunehmen, damit sie ein besseres Gespür für den Hund bekommt.
Das Verhalten dem Kater gegenüber ist noch das Normalste: Hunde empfinden schnelle Bewegungen vor ihrer Nase sowieso als Provokation. Nach deiner Beschreibung hört es sich eher so an, als habe der Knickschwanzbesitzer mehr Spaß die Hündin zu necken, als diese ihn zu jagen.