In Anbetracht der Mischung: Galgo-Mix, (vielleicht ja auch Podenco-Mix?) und aus eigener leidvoller Erfahrung, würde ich den Freilauf erst mal komplett streichen. Es sei denn ihr habt in der Nähe ein eingezäuntes Gebiet. Ansonsten: Kaufe dir ein Geschirr und eine 10 m Schleppleine und übe so gesichert erst mal den Rückruf und dich für deinen Hund interessant zu machen. Außerdem empfehle ich dir das Buch "Antijagdtraining" von Pia Gröning, als Trainingsgrundlage. Kostet auch alles Geld, aber nicht so viel wie ein Einzeltraining.
Wenn dein Hund jetzt lernt wie toll das Jagen (Stöbern, Spuren verfolgen und Hetzen) ist, dann wirst du es enorm schwer haben jemals wieder die Aufmerksamleit deines Hundes zu bekommen. Deswegen: Schleppleine dran und üben! Und als geschätze Prognose: mindestens für ein halbes Jahr.
Und was die Katze betrifft: Unterbinde jedes jagen der Katze, sobald der Hund einen Ansatz zum hinterhergehen zeigt, würde ich ihn auf seine Decke/Körbchen schicken und dort sichern/anbinden. Wenn er bellt würde ich ihn ignorieren, sobald er ruhig ist lecker rein!