Selbst wenn die Vermieter mit in einem (Zwei-)Familienhaus wohnen würden, hätten sie nicht einfach das Recht zu kündigen. Eine Kündigung durch den Vermieter muss immer begründet sein: Zahlungsrückstand, Mietvertragsverstöße, Eigenbedarf. Auch der Wunsch nach einer Renovierung berechtigt den Vermieter nicht zur Kündigung. Er kann aber zumindest Modernisierungen auf die Miete umlegen. Wenn er z.B. die Heizung erneuert, die Fassade dämmt o.ä.
Prinzipiell gilt: Kauf bricht nicht Miete. Der neue Eigentümer muss in den bestehenden Mietvertrag einsteigen. Viele versuchen einen neuen Mietvertrag mit anderen Konditionen abzuschließen. Wenn der für Euch nachteilig ist, dann lasst Euch nicht darauf ein.
Lasst Euch auf jeden Fall vom jetzigen Vermieter eine Hundehaltegenehmigung als Nachtrag zum Mietvertrag geben. Dann könnte der neue Vermieter die Haltung nur verbieten wenn eine erhebliche Störung von der Hundehaltung ausgeht.
Edit: Die Schwiegeroma kann die Hundehaltegenehmigung nur geben wenn sie auch als Eigentümerin im Grundbuch steht. Sonst nützt Euch das nichts. Wie gesagt wenn Ihr die Genehmigung - vom derzeitigen Eigentümer - als Nachtrag zum Mietvertrag habt, braucht Ihr keine neue vom neuen Eigentümer.