Hallo und herzlichen Glückwunsch zum Familienzuwachs.
Zuallererst das Wichtigste:
1 Woche zum ankommen ist nicht viel.
Ihr alle seid immer noch in der Kenn-Lern-Phase.
Seid dabei, euch gegenseitig kennen zu lernen, eine Sprache zu finden, einen gemeinsamen Alltag.
Ich lese in deinem Text weder Druck noch Ungeduld heraus - mache dir trotzdem bewusst, dass ihr euch ruhig entspannen könnt.
Unsicherheiten sind erlaubt - und alles was du schreibst ist total im Rahmen.
Mache dir auch bewusst, dass die Umstellung für euren Hund viel größer ist als für euch. Ihr habt ein neues Familienmitglied und einen neuen Alltag - viel Verantwortung.
Aber ihr seid zu zweit und kennt euch - der Hund hat alle bezugspersonen verloren. Ihr sprecht dieselbe Sprache und in der Regel ist es der Hund der "menschen verstehen" lernen muss. (Weil er es eben drauf hat
)
Ihr kennt euer Haus, euer Umfeld, eure Zimmer, eure Abläufe - für den 4-Beiner ist wirklich ALLES anders.
Zudem seid ihr erwachsen - Körper, Psyche und Hormone sind "fertig" - während euer Jungspund gerade in der Übergangsphase steckt zwischen Kleinkind und "Schulkind" - bald beginnt die Pupertät und da feuerts richtig im Gehirn 
Gebt euch Zeit euch aufeinander einzustellen und zusammen zu wachsen 
um einen habe ich das Gefühl, dass er recht häufig pipi machen muss (zum Glück haben wir einen Garten) und seine Geschäfte noch nicht wirklich beim Gassi gehen erledigt, sondern zu Hause (also im Garten). Ist das normal? Kann man den Hund umtrainieren?
Wenn er gar nicht in den Garten machen soll, behandel den garten wie dein "Wohnzimmer". Hund nicht unbeaufsichtigt in den Garten lassen, sobald er anstalten macht sich zu lösen scnappst du ihn und gehst vor die Tür.
Den Hund lesen lernen (wann muss er, wie ist sein pipi-Rythmus) und Geduld und Konsequenz sind die Zauberwörter.
Hausregeln (z.B. nicht in den Garten zu pinkeln) sollten von Anfang an gelten - es ist für den Hund einfach unnötig blöd - und für euch auch - jetzt Dinge zu erlauben die später verboten sind.
Natürlich sollten Hausregeln unter Berücksichtigung der Hundebedürfnisse durchgesetzt werden.
Sauberkeitserziehung bedeutet alle 2h raus und nach jedem Fressen, Toben, spielen - das sollte der Hund liebevoll und konsenquent lernen dürfen - in seinem Tempo.
Für euch ist es natürlich anstrengender alle 2h vor die tür als den Hund in den Garten zu lassen.
Ihm wird es auch helfen, wenn er nur fürs Geschäft immer zur selben Stelle/selben Grünstreifen gebracht wird.
Routine und bekanntes bringt Sicherheit - Hunde lösen sich dort wo sie sich sicher fühlen.
ein bisschen Gassi ist sicher auch schon drin - aber wenn es für den zwerg zu aufregend ist, vergisst er das puschern halt. Meint er nicht böse 
Ob das normal ist - ja, kann schon sein, Vor allem wenn er es vorher nicht gelernt hat.
Sauberkeitserziehung ist ein Zusammenspiel zwischen Fähigkeiten des Hundes (wie bei Kindern - manche brauchen mit 1.5 Jahren keine Windel mehr, andere noch mit 3 - ist halt so) und der Beobachtungsgabe+Konsequenz des hundehalters. Wie gut kann er den Hund und seinen pinkelrythmus "lesen" und reagiert rechtzeiti.
Außerdem klappt es schon gut, dass ich zum Zähne putzen mal hoch gehen kann oder den Müll raus bringen und er verhält sich ruhig. Meint ihr man kann darauf nach und nach schon aufbauen und die Minuten, die er allein ist steigern?
Kann man sicher.
Müssen tut man es mMn nicht.
Bei einem 4.5 monate altem Hund, der erst eine Woche da ist, würde ich nicht über "alleine bleiben Training" nachdenken.
Wenn er mir (vermutlich) aus Unsicherheit hinterherläuft, dann braucht er das noch.
Irgendwann - wenn das Bedürfniss nach Sicherheit/Nähe ausreichend befridigt ist, wird er sich von alleine lösen können - in seinem Tempo.
Da würde ich nichts "künstlich" mit Methode trainieren. Gras wäscht auch nicht schneller wenn man daran zieht.
Meinen Alltag weiter leben und den Hund machen lassen. Tabu wäre bei mir - auch von Tag eins - Folgen ins Bad - weil ich das einfach nicht mag.
Ab wann habt ihr eure Hunde allein schlafen lassen (Schlafzimmertür würde offen bleiben). Sinn macht es ja wahrscheinlich erst, wenn er tagsüber allein bleiben kann.
Wo schläft er/ihr denn aktuell?
Wo soll er denn später schlafen?
Warum kann die Schlafzimmertür nicht jetzt schon aufbleiben und der Hund hat die Wahl?