Ich kann mir die Gegebenheit nicht so ganz vorstellen. Wie wird die Gartenhütte genutzt, steht sie irgendwie ungünstig auf dem Grundstück? Warum sollen Stall + geschlossenes Gehege innerhalb der Hütte untergebracht werden? Bei Unterbringung in einer Gartenhütte stelle ich mir ein Bodengehege (am einfachsten zu bauen und zu reinigen, Umrandung aus Leimholzbrettern, Boden + Innenseiten mit PVC verkleiden) innerhalb und ein gesichertes Gehege außerhalb vor. Beide mit einem Hühnertürchen verbunden, das bei Bedarf verschlossen werden kann.
Fliegengittertüren halten Fliegen, Vögel vielleicht zaghafte Katzen ab. Als Schutz vor allem anderen ist Fliegengitter nicht geeignet. Hier sollte schon kleinmaschiges Vierpunkt-Volierengitter rein, wenn Tür/Fenster offen stehen bleiben soll. Oder eine Gitter-Abdeckung für das Bodengehege basteln.