Sie ist also im Moment euer "Besuchshund"?
Besuch ist erlaubt, und den dauerhaften Verbleib bei euch macht ihr jetzt einfach offiziell.
Einen Vertrag mit der Mutter solltet ihr machen, damit ihr die Besitzer des Hundes seid. Die derzeitige Haftpflichtversicherung ist dann auch noch auf dem Namen der Mutter?
Dann muss mit der Haftpflichtversicherung geklärt werden, ob ihr die übernehmen könnt oder ob ihr eine neue abschließen müsst.
Wenn der Hund dauerhaft bleiben soll, dann muss auch rechtlich abgesichert sein, dass ihr die Besitzer des Hundes seid - und gegebenenfalls zur Verantwortung gezogen werden könnt, sollte durch den Hund schaden entstehen.
Natürlich muss auch die Wohnsituation das erlauben, z. B. Zustimmung des Vermieters bei einer gemieteten Wohnung.
Viel Erfolg!